GAMM Géométrie algébrique complexe/réelle et mécanique des matériaux

Les développements récents concernant la stratification du tenseur d’élasticité à l’aide d’équations polynomiales nous permettent actuellement d’aborder le problème du calcul de la distance à une classe de symétrie donnée, sous un angle nouveau : en utilisant des méthodes d’optimisation algébriques, de type Lasserre par exemple, ou en déterminant de manière algébrique les extrémaux, à l’aide de calcul des bases de Groebner ou d’autres méthodes modernes de la géométrie algébrique. Un autre cas applicatif est celui du tenseur de piezo-électricité, dont la stratification est en cours d’obtention.Un second axe de recherche, d’un point de vue plus mathématique cette fois, serait de démonter l’algébricité de l’adhérence des strates d’isotropies de n’importe quelle représentation linéaire d’un groupe compact. Cette conjecture est apparue à la suite de sa vérification pour le tenseur d’élasticité. Sa résolution par l’affirmative ouvrirait la voie à l’étude d’un autre problème ouvert: le corps des invariants rationnels d’une strate d’isotropie est-il isomorphe au corps des invariants rationnels du groupe de monodromie d’une tranche linéaire associée à cette strate ?D’autres retombées sont attendues également en optimisation topologique de structures constituées de matériaux anisotropes. Dans le cas non-linéaire, il est à noter que l’étude des conditions de localisation de la déformation (de la plasticité et de l’endommagement, conduisant à l’apparition des bandes de cisaillement précurseurs de fissures macroscopiques) fait apparaître des équations similaires à résoudre, correspondant à la perte d’ellipticité du problème mécanique.